"Комплект" заданий по численным методам — страница 7

  • Просмотров 3317
  • Скачиваний 432
  • Размер файла 32
    Кб

максимальная из норм изменений X и F(x). ДИСКРЕТНЫЙ МЕТОД НЬЮТОНА Трудность использования метода Ньютона состоит в 1. Необходимости вычисления на каждом этапе J=F 4x 5| 0. Возможно несколько путей решения: - аналитический способ. Наиболее эффективен, однако точные форму- лы могут быть слишком большими, а также функции могут быть заданы таб- лично. - конечно-разностная аппроксимация: dF 4i 0

F 4i 0(x 41 0,...,x 4j 0+dx 4j 0,...,x 4n 0) - F 4i 0(x 41 0,...,x 4j 0-dx 4j 0,...x 4n 0) ─── = ────────────────────────────────────────────────── dX 4j 0 2*dX 4j В этом случае мы имеем уже дискретный метод Ньютона, который уже не обладает квадратичной сходимостью.

Скорость сходимости можно увели- чить, уменьшая dX 4j 0 по мере приближения к X 5* 0. 2. Вычисление матрицы J 5-1 0 на каждом шаге требует значительных вы- числительных затрат, поэтому часто решают такую систему: dX 5  0= 5  0J 5-1 0(X 5m 0) 5  0* 5  0F(X 5m 0) или умножая правую и левую часть на J, получим: J(X 5m 0) 5  0* 5  0dX 5m  0= 5  0F(X 5m 0) На каждом M-ом шаге матрицы J и F известны.

Необходимо найти dX 5m 0, как решение вышеприведенной системы линейных АУ, тогда X 5m+1 0=X 5m 0+dX 5m Основной недостаток метода Ньютона - его локальная сходимость, поэтому рассмотрим еще один метод. МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ Пусть t - параметр, меняющийся от 0 до 1. Введем в рассмотрение некоторую систему H(X,t)=0, такую, что: 1. при t=0 система имеет решение X 50 2. при t=1 система имеет решение X 5* 3. вектор-функция

H(X,t) непрерывна по t. Вектор функция может быть выбрана несколькими способами, например H(X,t) = F(X) + (t-1) или H(X,t) = t * F(X) Нетрудно проверить, что для этих вектор-функций выполняются усло- вия 1-3. Идея метода состоит в следующем: Полагаем t 41 0= 7D 0t и решаем систему H(X,t 41 0)=0 при выбранном X 50 0. Полу- чаем вектор X 5t1 0. Далее берем его в качестве начального приближения и решаем при новом t 42 0=t 41 0+ 7D 0t

систему H(X,t 42 0)=0, получаем X 5t2 0 и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. 3. ТЕХНОЛОГИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ МАТРИЦ ОСНОВНЫЕ ИДЕИ МЕТОДА. Основные требования к этим методам можно свести в 3 утверждения: 1. Хранить в памяти только ненулевые элементы. 2. В процессе решения принимать меры, уменьшающие возможность по- явления новых ненулевых элементов. 3. Вычисления производить только с ненулевыми элементами.