Метод деформируемого многогранника — страница 2

  • Просмотров 3295
  • Скачиваний 226
  • Размер файла 81
    Кб

новой точки B, расположенной на проектирующей прямой на надлежащем расстоянии от центра тяжести. Продолжение этой процедуры, в которой каждый раз вычёркивается вершина, где целевая функция максимальна, а также использование правил уменьшения размера симплекса и предотвращения циклического движения в окрестности экстремума позволяют осуществить поиск, не использующий производные и в котором величина шага на любом этапе k

фиксирована, а направление поиска можно изменять. На рисунке 2 приведены последовательные симплексы, построенные в двумерном пространстве с «хорошей» целевой функцией. Рисунок SEQ Рисунок * ARABIC 2. Последовательность регулярных симплексов, полученных при минимизации f(x). ----- проекция Определённые практические трудности, встречающиеся при использовании регулярных симплексов, а именно отсутствие ускорения поиска и трудности при

проведении поиска на искривлённых «оврагах» и «хребтах», привели к необходимости некоторых улучшений методов. Далее будет изложен метод Нелдера и Мида, в котором симплекс может изменять свою форму и таким образом уже не будет оставаться симплексом. Именно поэтому здесь использовано более подходящее название «деформируемый многогранник». В методе Нелдера и Мида минимизируется функция n независимых переменных с

использованием n+1 вершин деформируемого многогранника в En. Каждая вершина может быть идентифицирована вектором x. Вершина (точка) в En, в которой значение f(x) максимально, проектируется через центр тяжести (центроид) оставшихся вершин. Улучшенные (более низкие) значения целевой функции находятся последовательной заменой точки с максимальным значением f(x) на более «хорошие точки», пока не будет найден минимум f(x). Более подробно

этот алгоритм может быть описан следующим образом. Пусть i-й вершиной (точкой) в En на k-м этапе поиска, k=0, 1, …, и пусть значение целевой функции в x(k)i равно f(x(k)i). Кроме того, отметим те векторы x многогранника, которые дают максимальное и минимальное значения f(x). Определим Поскольку многогранник в En состоит из (n+1) вершин x1, …,xn+1, пусть xn+2 будет центром тяжести всех вершин, исключая xh. Тогда координаты этого центра определяются

формулой (1) где индекс j обозначает координатное направление. Начальный многогранник обычно выбирается в виде регулярного симплекса (но это не обязательно) с точкой 1 в качестве начала координат; можно начало координат поместить в центр тяжести. Процедура отыскания вершины в En, в которой f(x) имеет лучшее значение, состоит из следующих операций: 1.  Отражение – проектирование x(k)h через центр тяжести в соответствии с