Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла — страница 2

Флетчера - Пауэлла приведены в таблице 1. Таблица 1. Результаты вычислений по методу Дэвидона - Флетчера - Пауэлла. k xk f(xk) j yj f(yj) f(yj) çêf(yj) çê D dj lj yj+1 1 (0.00, 3.00) (52.00) 1 2 (0.00, 3.00) (52.00) (2.70, 1.51) (0.34) (-44.00, 24.00) (0.73, 1.28) 50.12 1.47 (44.00, -24.00) (-0.67, -1.31) 0.062 0.22 (2.70, 1.51) (2.55, 1.22) 2 (2.55, 1.22) (0.1036) 1 2 (2.55, 1.22) (0.1036) (2.45, 1.27) (0.0490) (0.89, -0.44) (0.18, 0.36) 0.99 0.40 (-0.89, 0.44) (-0.28, -0.25) 0.11 0.64 (2.45, 1.27) (2.27, 1.11) 3 (2.27, 1.11) (0.008) 1 2 (2.27, 1.11) (0.008) (2.25, 1.13) (0.004) (0.18, -0.20) (0.04, 0.04) 0.27 0.06 (-0.18, 0.20) (-0.05, -0.03) 0.10 2.64 (2.25,

1.13) (2.12, 1.05) 4 (2.12, 1.05) (0.0005) 1 2 (2.12, 1.05) (0.0005) (2.115, 1.058) (0.0002) (0.05, -0.08) (0.004, 0.004) 0.09 0.006 (-0.05, 0.08) 0.10 (2.115, 1.058) На каждой итерации вектор dj для j = 1, 2 определяется в виде –Djf(yj), где D1 ­­– единичная матрица, а D2 вычисляется по формулам (1) - (3). При k = 1 имеем p1 = (2.7, -1.49)T, q1 = (44.73, -22,72)T. На второй итерации p1 = (-0.1, 0.05)T, q1 = (-0.7, 0.8)T и, наконец, на третьей итерации p1 = (-0.02, 0.02)T, q1 = (-0.14, 0.24)T. Точка yj+1 вычисляется оптимизацией вдоль направления dj при начальной

точке yj для j = 1, 2. Процедура остановлена в точке y2 = (2.115, 1.058)T на четвертой итерации, так как норма çêf(y2) çê= 0.006 достаточно мала. Траектория движения, полученная методом, показана на рисунке 1. Рисунок 1. Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла. Лемма 1 показывает, что каждая матрица Dj положительно определена и dj является направлением спуска. Для доказательства леммы нам понадобится : Теорема 1. Пусть S - непустое множество в Еn,

точка x Î cl S. Конусом возможных направлений в точке x называется множество D = {d : d ¹ 0, x + ld Î S при всех l Î (0, d) для некоторого d > 0}. Определение. Пусть x и y - векторы из Еn и |xTy| - абсолютное значение скалярного произведения xTy. Тогда выполняется следующее неравенство, называемое неравенством Шварца : |xTy| £ ||x|| ||y||. Лемма 1. Пусть y1 Î Еn, а D1 – начальная положительно определенная симметрическая матрица. Для j = 1, ..., n положим yj+1 =

yj + ljdj, где dj = –Djf(yj), а lj является оптимальным решением задачи минимизации f(yj + ldj) при l ³ 0. Пусть, кроме того, для j = 1, ..., n – 1 матрица Dj+1 определяется по формулам (1) - (3). Если f(yj) ¹ 0 для j = 1, ..., n, то матрицы D1, ..., Dn симметрические и положительно определенные, так что d1, ..., dn – направления спуска. Доказательство. Проведем доказательство по индукции. При j = 1 матрица D1 симметрическая и положительно определенная по условию леммы. Кроме

того, f(y1)Td1 = –f(y1)TD1f(y1) < 0, так как D1 положительно определена. Тогда по теореме 1 вектор d1 определяет направление спуска. Предположим, что утверждение леммы справедливо для некоторого j £ n – 1, и покажем, что оно справедливо для j+1. Пусть x – ненулевой вектор из En, тогда из (1) имеем (4) Так как Dj – симметрическая положительно определенная матрица, то существует положительно определенная матрица Dj1/2, такая, что Dj = Dj1/2Dj1/2. Пусть a = Dj1/2x и b