Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла — страница 4

  • Просмотров 4964
  • Скачиваний 284
  • Размер файла 62
    Кб

такого, что 1 £ j £ n, справедливы следующие утверждения : 1. d1, …, dj линейно независимы. 2. djTHdk = 0 для i ¹ k; i, k £ j. 3. Dj+1Hpk, или, что эквивалентно, Dj+1Hdk = dk для 1 £ k £ j, pk = lkdk. Проведем доказательство по индукции. Для j = 1 утверждения 1 и 2 очевидны. Чтобы доказать утверждение 3, заметим прежде всего, что для любого k справедливы равенства Hpk = H(lkdk) = H(yk+1 - yk) = k+1) –k) = qk. (7) В частности, Hp1 = q1. Таким образом, полагая j = 1 в (1), получаем т.е.

утверждение 3 справедливо при j = 1. Теперь предположим, что утверждения 1, 2 и 3 справедливы для j £ n – 1. Покажем, что они также справедливы и для j + 1. Напомним, что по утверждению 1 теоремы 2 diTj+1) = 0 для i £ j. По индуктивному предположению di = Dj+1Hdi, i £ j. Таким образом, для i £ j имеем 0 = diTj+1) = diTHDj+1j+1) = –diTHdj+1. Ввиду предположения индукции это равенство показывает, что утверждение 2 также справедливо для j+1. Теперь покажем, что

утверждение 3 справедливо для j+1. Полагая k £ j+1, имеем (8) Учитывая (7) и полагая k = j + 1 в (8), получим, что Dj+2Hpj+1 = pj+1. Теперь пусть k £ j. Так как утверждение 2 справедливо для j + 1, то pj+1THpk = lklj+1dj+1THdk = 0. (9) По предположению индукции из (7) и вследствие того, что утверждение 2 справедливо для j + 1, получаем . (10) Подставляя (9) и (10) в (8) и учитывая предположение индукции, получаем Таким образом, утверждение 3 справедливо для j+1. Осталось показать,

что утверждение 1 справедливо для j+1. Предположим, что j+1, получаем, что положительно определена, так что H положительно определена, то и, следовательно, d1, …, dj линейно независимы по предположению индукции, то для i = 1, …, j. Таким образом, d1, …, dj+1 линейно независимы и утверждение 1 справедливо для j+1. Следовательно, утверждения 1, 2 и 3 выполняются. В частности сопряжённость d1, …, dn следует из утверждений 1 и 2, если положить j = n. Пусть

теперь j = n в утверждении 3. Тогда для k = 1, …, n. Если в качестве D взять матрицу, столбцами которой являются векторы d1, …, dn, то D имеет обратную, то является оптимальным решением по теореме 2. Теорема доказана. Список литературы. 1. Базара М., Шетти К. «Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы». М., 1982. 2. Химмельблау Д. «Прикладное нелинейное программирование». М., 1975.