Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики — страница 11

(1). Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Если в условиях задачи не указано, на каком множестве нужно решить уравнение, то решение следует искать в ОДЗ этого уравнения. В процессе решения часто приходится преобразовывать уравнение, заменяя его более простым (с точки зрения нахождения корней). Есть одно правило, которое не следует забывать при преобразовании уравнений: нельзя выполнять

преобразования, которые могут привести к потере корней. Назовем преобразование уравнения (1) допустимым, если при этом преобразовании не происходит потери корней, то есть получается уравнение , (2) которое либо имеет те же корни, что и уравнение (1), либо, кроме всех корней уравнения (1), имеет хотя бы один корень, не являющийся корнем уравнения (1), посторонний для уравнения (1) корень. В связи с этим используют следующие понятия.

Уравнение (2) называется следствием уравнения (1), если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2). Уравнения (1) и (2) называются равносильными (эквивалентными), если каждое из этих уравнений является следствием другого. Иными словами, уравнения (1) и (2) равносильны, если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2) и наоборот, каждый корень уравнения (2) является корнем уравнения (1). Уравнения, не имеющие корней,

считаются равносильными. Если уравнения (1) и (2) равносильны, то пишут или (1)(2), а если уравнение (2) является следствием уравнения (1), то пишут или (1)(2). Отметим, что если исходное уравнение с помощью допустимых преобразований заменено другим, причем в процессе преобразования хотя бы один раз уравнение заменялось неравносильным ему следствием, то проверка найденных корней путем подстановки в исходное уравнение является

обязательной. Если же при каждом преобразовании уравнение заменялось равносильным, то проверка не нужна (не следует путать проверку с контролем вычислений). Рассмотрим еще одно понятие, связанное с решением уравнений. Будем говорить, что уравнение (1) равносильно совокупности уравнений , (3) если выполнены следующие условия: каждый корень уравнения (1) является корнем, по крайней мере, одного из уравнений (3); любой корень каждого

из уравнений (3) является корнем уравнения (1). Если указанные условия выполнены, то множество корней уравнения (1) является объединением множеств корней уравнений (3). Если уравнение записано в виде , (4) то каждое решение этого уравнения является решением, по крайней мере, одного из уравнений (5) Однако нельзя утверждать, что любой корень каждого из уравнений (5) есть корень уравнения (4). Например, если , то – корень уравнения , но число 3