Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики — страница 12
не является корнем уравнения (4), так как функция не определена при . Таким образом, в общем случае нельзя утверждать, что уравнение (4) равносильно совокупности уравнений (5). Чтобы решить уравнение (4), достаточно найти корни уравнений и , а затем отбросить те, которые не входят в ОДЗ уравнения (4), то есть не принадлежат множеству, на котором определены функции и . В ОДЗ уравнения (4) это уравнение равносильно совокупности уравнений (5). Справедливо более общее утверждение: если функция определена при всех x таких, что , а функция определена при всех x таких, что , то уравнение (4) равносильно совокупности уравнений (5). [18] 2.1.2. Наиболее важные приемы преобразования уравнений Все преобразования уравнений можно разделить на два типа: [15] Равносильные, то есть преобразования, после применения любых из которых получится уравнение, равносильное исходному. Неравносильные, то есть преобразования, после применения которых может произойти потеря или приобретение посторонних корней. Рассмотрим некоторые виды преобразований уравнений и проанализируем, к каким типам они относятся. Перенос членов уравнения из одной части в другую, то есть переход от уравнения (1) к уравнению . (2) Указанное преобразование приводит к равносильному уравнению, то есть (1)(2). В частности, . Заметим, что здесь речь идет только о переносе членов уравнения из одной его части в другую без последующего приведения подобных членов (если таковые имеются). [18] Приведение подобных членов, то есть переход от уравнения (3) к уравнению . (4) Справедливо следующее утверждение: для любых функций ,, уравнение (4) является следствием уравнения (3), то есть (3)(4). Переход от уравнения (3) к уравнению (4) является допустимым преобразованием, при котором потеря корней невозможна, но могут появиться посторонние корни. Таким образом, при приведении подобных членов, а также при отбрасывании одинаковых слагаемых в левой и правой частях уравнения получается уравнение, являющееся следствием исходного уравнения. [18] Например, если в уравнении вычеркнуть в левой и правой его частях слагаемое , то получится уравнение , являющееся следствием исходного: второе уравнение имеет корни , , а первое – единственный корень . Отметим еще, что если ОДЗ уравнения (4) содержится в области определения функции , то уравнения (3) и (4) равносильны. Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию, то есть переход от уравнения (4) к уравнению . (5) Справедливы следующие утверждения: если ОДЗ уравнения (4), то есть пересечение областей определения функций и , содержится в области определения функции , то уравнение (5) является следствием
Похожие работы
- Рефераты
- Контрольные