Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики — страница 13

уравнения (4); если функция определена и отлична от нуля в ОДЗ уравнения (4), то уравнения (4) и (5) равносильны. [18] Заметим, что в общем случае переход от уравнения (5) к уравнению (4) недопустим, так как это может привести к потере корней. При решении уравнений вида (5) обычно заменяют его равносильным уравнением , затем находят все корни уравнений и и, наконец, проверяют, какие из этих корней удовлетворяют уравнению (5). Возведение обеих

частей уравнения в натуральную степень, то есть переход от уравнения (6) к уравнению . (7) Справедливы следующие утверждения: при любом уравнение (7) является следствием уравнения (6); если (n – нечетное число), то уравнения (6) и (7) равносильны; если (n – четное число), то уравнение (7) равносильно уравнению , (8) а уравнение (8) равносильно совокупности уравнений . (9) В частности, уравнение (10) равносильно совокупности уравнений (9). [18]

Следовательно, исходя из утверждений 1 и 2, возведение обеих частей уравнения в нечетную степень и извлечение из обеих частей уравнения корня нечетной степени является равносильным преобразованием. Исходя из утверждения 1 и 3, возведение обеих частей уравнения в четную степень и извлечение из обеих частей уравнения корня четной степени является неравносильным преобразованием, при этом получается уравнение, являющееся

следствием исходного. Применение формулы при является равносильным преобразованием, при – неравносильным. [15], [18] Преобразования уравнений, рассмотренные в пунктах 3, 4 и 5 будут продемонстрированы на примерах ниже. 2.2. Методы решения иррациональных уравнений В работе будем придерживаться следующего определения иррационального уравнения: Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком

корня. Прежде чем приступить к решению сложных уравнений учащиеся должны научиться решать простейшие иррациональные уравнения. К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида: . Основная идея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Главный способ

избавиться от корня и получить рациональное уравнение – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное, и последующее «освобождение» от радикалов по формуле . [6] Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному. [6] При возведении уравнения в четную степень