Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики — страница 14

получается уравнение, являющееся следствием исходного. Поэтому возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней. Причина приобретения корней состоит в том, что при возведении в четную степень чисел, равных по абсолютной величине, но разных по знаку, получается один и тот же результат. Так как могут появиться посторонние корни, то необходимо делать проверку, подставляя найденные значения

неизвестной только в первоначальное уравнение, а не в какие-то промежуточные. Рассмотрим применение данного метода для решения иррациональных уравнений вида . [7] Пример 1. Решить уравнение . Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат и получим , откуда следует, что или . Проверка. : . Это неверное числовое равенство, значит, число не является корнем данного уравнения. : . Это верное числовое равенство, значит, число

является корнем данного уравнения. Ответ. . Пример 2. Решить уравнение . Решение. После возведения в квадрат получаем уравнение , откуда следует что или . Проверка. : . Это верное числовое равенство, значит, число является корнем данного уравнения. : . Это неверное числовое равенство, значит, число не является корнем данного уравнения. Ответ. . 2.2.1. Метод сведения к эквивалентной системе уравнений и неравенств Проверка, осуществляемая

подстановкой найденного решения в исходное уравнение, может быть легко реализована, если проверяемые корни – «хорошие» числа, а для «громоздких» корней проверка может быть сопряжена со значительными вычислительными трудностями. Поэтому каждый образованный школьник должен уметь решать иррациональные уравнения с помощью равносильных преобразований, так как, выполняя равносильные преобразования, можно не опасаться ни

потери корней, ни приобретения посторонних решений. [17] Аккуратное возведение в четную степень уравнения вида состоит в переходе к равносильной ему системе: Неравенство в этой системе выражает условие, при котором уравнение можно возводить в четную степень, отсекает посторонние решения и позволяет обходиться без проверки. [17] Школьники довольно часто добавляют к этой системе неравенство . Однако этого делать не нужно и даже

опасно, поскольку условие автоматически выполняется для корней уравнения , в правой части которого стоит неотрицательное выражение. [9] Пример 3. Решить уравнение . Решение. Это уравнение равносильно системе Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни и . Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения. Ответ. . Полезно