Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики — страница 15

запомнить схему решения еще одного вида иррациональных уравнений . Такое уравнение равносильно каждой из двух систем Поскольку после возведения в четную степень получаем уравнение-следствие . Мы должны, решив его, выяснить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ исходного уравнения, то есть выполняется ли неравенство (или ). На практике из этих систем выбирают для решения ту, в которой неравенство проще. [9] Пример 4. Решить уравнение

. Решение. Это уравнение равносильно системе Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни и . Однако при этих значениях x не выполняется неравенство , и потому данное уравнение не имеет корней. Ответ. Корней нет. 2.2.2. Метод уединения радикала При решении иррациональных уравнений полезно перед возведением обеих частей уравнения в некоторую степень «уединить радикал», то есть представить уравнение в

виде . Тогда после возведения обеих частей уравнения в n-ую степень радикал справа исчезнет. [4] Пример 5. Решить уравнение Решение. Метод уединения радикала приводит к уравнению . Это уравнение равносильно системе Решая первое уравнение этой системы, получим корни и , но условие выполняется только для . Ответ. . Пример 6. Решить уравнение . Решение. Уединив первый радикал, получаем уравнение , равносильное исходному. Возводя обе

части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение , . Последнее уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, приходим к уравнению ,. Это уравнение является следствием уравнения исходного уравнения и имеет корни , . Первый корень удовлетворяет исходному уравнению, а второй – не удовлетворяет. Ответ. . 2.2.3. Метод введения новой переменной. Мощным средством решения

иррациональных уравнений является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную. В ряде случаев удачно

введенные новые неизвестные иногда позволяют получить решение быстрее и проще; иногда же без замены решить задачу вообще невозможно. [6], [17] Пример 7. Решить уравнение . Решение. Положив , получим существенно более простое иррациональное уравнение . Возведем обе части уравнения в квадрат: . Далее последовательно получаем: ; ; ; ; , . Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение показывает, что – корень уравнения, а –