Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики — страница 16

посторонний корень. Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение , то есть квадратное уравнение , решив которое находим два корня: ,. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению. Ответ: , . Замена особенно полезна, если в результате достигается новое качество, например, иррациональное уравнение превращается в квадратное. Пример 8. Решить уравнение . Решение. Перепишем уравнение так: . Видно, что

если ввести новую переменную , то уравнение примет вид , откуда , . Теперь задача сводится к решению уравнения и уравнения . Первое из этих решений не имеет, а из второго получаем , . Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению. Ответ. , . Отметим, что «бездумное» применение в Примере 8 метода «уединения радикала» и возведение в квадрат привело бы к уравнению четвертой степени, решение которого представляет

собой в общем случае чрезвычайно сложную задачу. Пример 9. Решить уравнение . Введем новую переменную , . В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного , откуда учитывая ограничение , получаем . Решая уравнение , получаем корень . Как показывает проверка, удовлетворяет исходному уравнению. Ответ. . Иногда посредством некоторой подстановки удается привести иррациональное уравнение к рациональному виду,

как рассмотренных Примерах 8, 9. В таком случае говорят, что эта подстановка рационализирует рассматриваемое иррациональное уравнение, и называют ее рационализирующей., основанный на применении рационализирующих подстановок, называется способом рационализации. Со всеми учащимися на уроке этот способ решения иррациональных уравнений разбирать не нужно, но он может быть рассмотрен в рамках факультативных или кружковых

занятий по математике с учащимися, проявляющих повышенный интерес к математике. 2.2.4. Метод сведения к эквивалентным системам рациональных уравнений Уравнения вида (здесь a, b, c, d – некоторые числа, m, n – натуральные числа) и ряд других уравнений часто удается решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных: и , где и последующего перехода к эквивалентной системе рациональных уравнений. [17] Пример 16. Решить уравнение .

Решение. Введем новые переменные и , где . Тогда исходное уравнение принимает вид: . Полученное уравнение обладает одним существенным недостатком: в нем две неизвестных. Но заметим, что величины y и z не являются независимыми переменными – они зависят одна от другой посредством старой переменной x. Выразим x через y и z: и . Теперь, можно заметить, что если первое уравнение умножить на два и затем вычесть из него второе, то переменная x