Получение уравнения переходного процесса по передаточной функции — страница 2

Определить уравнение переходной функции по сле- дующей ПФ: W(p)= РЕШЕНИЕ. 1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра, учитывая, что U(p)= EQ f(1;p) . x(p)= EQ f(1;p) . 2. Корни характеристического уравнения. p1=0, p2= -0.2. 3. Преобразуем изображение x(p) согласно формуле №20. x(p)= 4. Определяем уравнение весовой функции по формуле №20. x(p)=30*(1- e-0.2t). Таким образом для построения любого переходного процесса (весовой или переходной функций)

необходимо прежде всего определить корни изображенного по Лапласу регулируемого параметра. Это сделать сложно, если знаменатель является полиномом выше третьего порядка. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ МЕТОДОМ ПРИБЛИЖЕНИЯ. Рассмотрим этот метод на конкретном примере. ПРИМЕР 4. Определить корни в следующем характеристическом уравнении: L(p)=p4+7.04p3+6.842p2+3.7104p+0.5904=0 РЕШЕНИЕ. В первом приближении один из корней можно определить по двум последним

членам этого уравнения. 3.7104p+0.5904=0 p1= - EQ f(0.5904;3.7104) = -0.1591. Если бы этот корень был бы вычислен точно, то данное уравнение разделилось бы на (p+0.1591) без остатка. В действительности получаем: ­_p4+7.04p3+6.842p2+3.7104p+0.5904 | p+0.1591_________. p4+0.1591p3 p3+6.8809p2+5.748p _6.8809p3+6.842p2 6.8809p3+1.094p2 _5.748p2+3.7104p 5.748p2+0.9145p 2.7959p+0.5904 По полученному остатку 2.7959p+0.5904 определяем корень во втором приближении. p2= Снова делим уравнение на p+0.211 и получаем остаток 2.570p+0.5904. Тогда корень в третьем

приближении p3= -0.2297. Уравнение снова делим на p+0.2297 и т.д. Наконец, корень в девятом приближении p9= -0.24, а частное от деления p3+6.8p2+5.21p+2.46=0. По двум последним членам этого уравнения снова определяем корни в первом приближении 5.21p+2.46=0 p1= -0.472. После деления уравнения на p+0.472 остаток 2.223p+2.46 и корень во втором приближении равен p2= -1.1066. Корень в третьем приближении p3=+2.256. Процесс расходится. Корень не может быть положителен в устойчивой САУ.

Тогда по трем (а не по двум) последним членам этого уравнения определяем сразу два комплексных корня характеристического уравнения. Остаток в первом приближении 6.033p2+4.848p+8.46. Остаток во втором приближении 5.996p2+4.802p+2.46. Остаток в третьем приближении 6.00p2+4.80p+3.46, который незначительно отличается от остатка во втором приближении и по нему определяем значение комплексных корней. p2,3= -0.4±j0.5. Частное от деления на остаток в третьем

приближении 0.210p+2.46=0, тогда p4= -6.0. Примечание. Корни кубического уравнения p3+6.8p2+5.21p+2.46 можно определить методом Карно. Для этого представим его в виде p3+ap2+bp+c=0 и путем подстановки p=приводим к ²неполному² виду. y3+n*y+m=0, где n= m= Корни y1,y2,y3 ²неполного² кубического уравнения равны: y1=A+B y2,3= A= B= Q= Определим численные значения корней ²неполного² кубического уравнения. Q= A= B= y1=A+B=-1.579+(-2.155)=-3.734 =1.867±j0.49968. Определяем корни данного