Получение уравнения переходного процесса по передаточной функции — страница 4

систему с передаточной функцией примера 5 подано единичное ступенчатое воздействие. Определить уравнение переходной функции. РЕШЕНИЕ. 1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра. x(p)= 2. Определяем корни характеристического уравнения. p1=0 p2= -1 p3= -2 p4= -4 3. Разложим полученное выражение x(p) на простые дроби. x(p)= 4. Коэффициенты разложения ci будем определять согласно 2-му случаю (среди вещественных корней есть один

нулевой корень). c1(-1)= c2(-2)= c3(-4)= c0(0)= Проверка: c1+c2+c3+c0=0.1666 -0.5 -0.2084 +0.125=0. 5. Изображение регулируемого параметра. x(p)= 6. Уравнение весовой функции согласно формулам №3 и №5 табл.1 (задание 4). x(t)=0.125+0.1666*e-t-0.5*e-2t-0.2084*e-4t. Примечание. Учитывая, что производная по уравнению переходной функции дает уравнение весовой функции, сравним полученные решения в примере №6 с решение в примере №5. x’(t)=0+(-1)*0.1666*e-t-(-2)*0.5*e-2t+(-4)*0.2084*e-4t= = -0.1666*e-t+e-2t-0.8336*e-4t. ПРИМЕР 7.

Определить уравнение переходной функции, если ПФ имеет вид: W(p)= РЕШЕНИЕ. 1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра, учитывая, что u(p)= x(p)= 2. Определяем корни характеристического уравнения. p1=0 p2,3=-3±j4 p4=-2 3. Разложим полученное изображение x(p) на простые дроби. x(p)= 4. Коэффициенты разложения ci будем определять согласно 3-му случаю (среди ²n² действительных корней есть комплексно-сопряженные). c0(p1=0)= c1(p2=-3±j4)= Для

возведения в квадрат комплексного числа (-3+j4) представим его в показательной форме. Полученное комплексное число в показательной форме представим в алгебраической форме. 25*ej*253°36’= =25*cos253°36’+j*25*sin 253°36’=25*(-0.28401)+j*25*(-0.95882)= =-7.100-j*23.970. ПРИМЕЧАНИЕ. Возведение в квадрат можно произвести и без представления его в показательной форме: (a+jb)3=(a3-3ab2)+j(3a2b-b3). (-3+j4)2=((-3)2-42)+2*(-3)*j4=-7-j24. Продолжаем определять c1(p2). c1(p2=-3+j4)= = Так как третий корень p3= -3-j4

комплексно-сопряженный со вторым p2= -3+j4, то значение c2(p3) будет отличаться от c1(p2) только знаком степени e. c2(p3=-3+j4)=1.877*e-j*111°06’. Определяем значение c3(p4=-2). 5. Изображение по Лапласу регулируемого параметра в виде простых дробей с учетом полученных значений c0,c1,c2,c3. x(p)= 6. Уравнение переходной функции получаем путем проведения обратного преобразования по Лапласу (см. табл.1 задание 4). x(t)=10-11.33*e-2t+1.877*e+j111°*e(-3+4j)*t+1.877*e-j111°*e(-3-4j)*t=

=10-11.33*e-2t+1.877*(e+j*(111°+4t)+e-j*(111°+4t))*e-3t. Выражение в скобках преобразуем согласно формуле Эйлера. (e+ja+e-ja)=2*cosa x(t)=10-11.33*e-2t+1.877*e-3t*2*cos(4t+111°)= =10-11.33*e-2t+3.75*e-3t*cos(4t-1.204). Примечание. cos(111°)= -cos(180°-111°)= -cos(-69°)= -cos(-1.204), где 1.204 угол в радианах от j=69°. Проверим правильность вычисления коэффициентов c. При t=0 значение x(t=0)=0, т.к. начальные условия нулевые. x(t)=10-11.33*1+3.75*1*cos(-1.2)=-1.33+3.75*0.3583=-1.33+1.343=0. Условия выполняются в пределах точности вычисления. 6.Уравнение