Вариации при исчислении

  • Просмотров 2062
  • Скачиваний 24
  • Размер файла 276
    Кб

1. Элементы вариационного исчисления 1.1 Понятие функционала и оператора В курсе высшей математики вводилось понятие функции. Если некоторому числу x из области D ставится в соответствие по определенному правилу или закону число y, то говорят, что задана функция y = f(x). Область D называют областью определения функции f(x). Если же функции y(x) ставится в соответствие по определенному правилу или закону число J, то говорят, что задан

функционал J = J(y). Примером функционала может быть определенный интеграл от функции y(x) или от некоторого выражения, зависящего от y(x), Если теперь функции y(x) ставится в соответствие по определенному правилу или закону вновь функция z(x), то говорят, что задан оператор z = L(y), или z = Ly. Примерами дифференциальных операторов могут служить: Дадим более строгое определение функционала. Пусть A – множество элементов произвольной природы,

и пусть каждому элементу u є A приведено в соответствие одно и только одно число J(u). В этом случае говорят, что на множестве A задан функционал J. Множество A называется областью определения функционала J и обозначается через D(J); число J(u) называется значением функционала J на элементе u. Функционал J называется вещественным, если все его значения вещественны. Функционал J называется линейным, если его область определения есть

линейное множество и если J (αu + βv) = αJ(u) + βJ(v). 1.2 Задачи, приводящие к экстремуму функционала Рис. 1.1 Задача о брахистохроне Зарождение вариационного исчисления относят обычно к 1696 г., когда И. Бернулли поставил так называемую задачу о брахистохроне: точки А (0,0) и В (а, b) расположены в вертикальной плоскости (xy) (рис. 1). Какова должна быть кривая, лежащая в плоскости (xy) и соединяющая точки А и В, чтобы материальная точка,

двигаясь без трения, скатывалась по этой кривой из точки А в точку В в кратчайшее время? Искомая кривая и была названа брахистохроной. Пусть уравнение кривой АВ есть y = u(x). Рассмотрим некоторый момент времени t, и пусть в этот момент движущаяся точка находится на расстоянии y от оси x. Тогда , где v – скорость движущейся точки, g – ускорение силы тяжести. В то же время Отсюда . Обозначим через Т время, в течение которого материальная