Вариации при исчислении — страница 4

  • Просмотров 3613
  • Скачиваний 27
  • Размер файла 276
    Кб

функционала (1.13) (1.15) Можно показать, что интеграл: (1.16) есть ограниченный функционал от η, при этом считаем, что η(х) непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условиям: η(а) = η(b) = 0. (1.17) В этом случае интеграл (1.16) можно взять по частям Таким образом, интеграл (1.15) можно записать в виде . (1.18) Здесь u + αη – u = αη = δu u можно записать (1.19) Вариацию δJ (u, η) можно записать в виде δJ (u, η) = (Рu, η). (1.20) Определение. Оператор Р, определенный формулой

(1.20), называется градиентом функционала J(u) и обозначается символом Р = grad J. Если uD(Р), то вариацию функционала J(u) можно записать в виде δJ (u, η) = (grad J(u), η) (1.21) Здесь взяли α = 1, чтобы не загромождать запись. В выражении (1.18) . 1.5 Необходимое условие минимума функционала Пусть функционал J достигает на некотором элементе u0 относительного минимума. Возьмем произвольный элемент ηМ и произвольное вещественное число α. По определению

относительного минимума при достаточно малых значениях α J(u0 + αη)J(u0) (1.22) Это неравенство означает, что функция одной вещественной переменной α, равная J(u0 + αη), имеет при α0 = 0 относительный минимум. Но тогда необходимо или, что то же δJ(u0, η) = 0 (1.23) Если функционал в некоторой точке достигает минимума, то в этой точке первая вариация функционала равна нулю. В этом заключается необходимое условие экстремума функционала. 1.6 Уравнение

Эйлера. Связь между вариационной и краевой задачами Рассмотрим основную лемму вариационного исчисления. Лемма Лагранжа. Пусть f (х, у) – функция, непрерывная в области D с контуром Г. Если η (х, у) dxdy = 0 (1.24) для любой функции η (х, у), непрерывной в области D вместе со своими частнымы производными до n-го порядка включительно и обращающейся в нуль на границе Г (η (х, у)|Г = 0), то f (х, у) = 0. Для примера, рассмотренного в 1.4, было получено в

точке минимума функционала (1.13) условие (1.25) Исходя из леммы Лагранжа, можем записать . (1.26) Если условие (1.25) записать в виде , то очевидно, что δu (вариация искомой функции) – функция неравная нулю на отрезке (а, b), поэтому должно выполняться условие (1.26). Уравнение (1.26) можно еще записать в виде Уравнение (1.26) называют уравнением Эйлера. Если предположить существование непрерывной второй производной от u(х), то уравнение (1.26) можно

записать в виде . Таким образом, условие минимума функционала (1.13) при условии (1.14) приводит к краевой задаче для уравнения Эйлера (1.26) при тех же условиях (1.14), т.е. Существует тесная связь между вариационной задачей о минимуме функционала и краевой задачей для уравнения Эйлера для этого функционала. Решения уравнения Эйлера (1.26), удовлетворяющие условиям (1.14) называют экстремалями функционала (1.13). 1.7 Пути решения вариационных