Век 17: от Кеплера до Ньютона — страница 3

  • Просмотров 1983
  • Скачиваний 30
  • Размер файла 20
    Кб

"Новая стереометрия винных бочек, по преимуществу - австрийских". Это был первый сборник задач на вычисление интегралов; он содержал около ста разных примеров с подробными решениями. В частности, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком (у = х..), осью (Х) и отрезками (х=а) и (х=в), равна (в...-а...)/(к+1) - если к = -1. Если же к = -1, то эта площадь равна разности логарифмов ln(в) - ln(а). Таким образом, одна строчка в таблице

интегралов от функций соответствует огромной таблице логарифмов чисел. Из этого видно, что для будущей математики исчисление функций гораздо важнее привычной арифметики и алгебры чисел. В новом мире функций, кроме арифметики и алгебры, действуют особые операции. Первые две из них - проведение касательной прямой к данной кривой и вычисление площади, которую ограничивает кривая - угадал еще Архимед. Теперь Кеплер разработал

удобную технику решения второй задачи. Но исчислять кривые так же просто и непринужденно, как числа, Кеплер не умел. Революцию в этом ремесле произвел в 1637 году другой великий математик - француз Рене Декарт (1596-1650). В отличие от Кеплера, Декарт не любил долгих расчетов. Он предпочитал наглядно-геометрические рассуждения и хотел работать этим методом с любыми сложными кривыми - а не только с прямыми и окружностями, как делал

Евклид. Для этой работы полезно уметь складывать, вычитать и умножать кривые между собой - так же, как мы это делаем с числами. Возможно ли это" Декарт изобрел такой способ, заметив, что многие кривые на плоскости задаются простыми уравнениями - после того, как мы введем на плоскости координаты, изобразив каждую точку ПАРОЙ чисел (х,у). Например, параболу можно задать уравнением (у = х..), или (х = у..). Окружность задается уравнением

(х.. + у.. = а..), а эллипс - похожим уравнением (х../а.. + у../в.. = 1). Уравнение гиперболы может иметь вид (ху = 1), или (х../а.. - у../в.. = 1). И вообще: каждое уравнение с двумя неизвестными F(x,y) = 0 задает на координатной плоскости некую кривую! Но над уравнениями легко проделывать любые арифметические операции. Все они приобретают геометрический смысл, когда мы чертим или мысленно воображаем кривую, соответствующую данному уравнению. Таким

образом, плоские кривые можно описывать на одном из двух эквивалентных языков: наглядно-геометрическом, или аналитическом (через формулы). Двусторонний "словарь", переводящий фразы одного из этих языков в равнозначные фразы другого языка, Декарт назвал аналитической геометрией. Он заметил, что методы этой науки нетрудно перенести и в пространство. Для этого достаточно изобразить любую точку пространства ТРОЙКОЙ чисел