Векторная алгебра 2 — страница 2

  • Просмотров 2526
  • Скачиваний 31
  • Размер файла 802
    Кб

Сложение и вычитание векторов. Сумму двух векторов и можно найти по правилу параллелограмма. Для этого надо привести их к общему началу и построить на этих векторах параллелограмм как на сторонах. Тогда диагональ параллелограмма, исходящая из общего начала векторов и и будет их суммой (рис.1). . Вычитание векторов можно выполнять как сложение вектора и , т.е. . Тогда вторая диагональ параллелограмма, исходящая из конца вектора

даст нам вектор , представляющий собой разность векторов и : . Так как противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, то, учитывая определение равенства двух векторов, сумму векторов и можно представить как третий вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора . Такой способ построения суммы векторов называют правилом треугольника. Для этого начало вектора надо совместить с

концом вектора , а затем соединить начало вектора с концом вектора . Тогда, как видно из рис.1, получим вектор . Для нахождения разности векторов приведём их к общему началу. Соединив их концы, построим треугольник. Тогда имеем . Отсюда легко можно получить правило для нахождения суммы большего числа векторов. Сумму нескольких векторов можно найти по правилу многоугольника: чтобы найти вектор, представляющий собой сумму заданных

векторов, нужно последовательно совместить начало следующего вектора-слагаемого с концом предыдущего, тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом последнего, будет суммой заданных векторов. Например, вектор есть сумма заданных векторов и : . Свойства сложения векторов: 1)   – переместительное св-во (коммутативность); 2)  – сочетательное св-во (ассоциативность). Оба свойства операции

сложения векторов следуют непосредственно из определения операции. Для любых двух векторов и справедливо неравенство треугольника: (если векторы и неколлинеарны, то сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны). Очевидно, что это неравенство выполняется и для любого числа векторов, т.е. . Умножение вектора на скаляр. Пусть – ненулевой вектор, – скаляр. Произведением вектора на скаляр называется вектор , обладающий

следующими свойствами: а) , ; б) , т.е. они коллинеарны; в)   сонаправлен вектору (т.е. направлен одинаково с ним), если , и направлен в противоположную сторону, если . Замечание. Из определения следует, что 1. вектор нулевой, если один из его сомножителей равен нулю; 2. критерий коллинеарности двух векторов: если , при (существует такое ). Свойства умножения вектора на скаляр: 1. Перестановочное (или коммутативное)