Векторная алгебра 2 — страница 7

  • Просмотров 2525
  • Скачиваний 31
  • Размер файла 802
    Кб

произведения двух векторов: 1)  Из определения следует переместительное свойство ; 2) Скалярное произведение равно нулю, т.е. или в двух следующих случаях: а) или б) (ортогональны) Таким образом, равенство нулю скалярного произведения двух векторов является необходимым и достаточным условием их перпендикулярности (или ортогональности) . 3) Рассмотрим скалярное произведение двух коллинеарных векторов. Если , то . Если же , то мы

имеем скалярное произведение вектора самого на себя . Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом и обозначается . 4) Распределительное свойство . Действительно, заметим, что . Тогда 5) Если – скаляр, то . 6) Непосредственно из определения операции скалярного умножения векторов следуют формулы ; , 7) Для базисных векторов справедливы равенства: ; ; ; . 8) Найдём теперь выражение для скалярного

произведения в координатной форме. Пусть , . Скалярное произведение Таким образом, . Условие ортогональности векторов в координатной форме: . Замечание. Выясним механический смысл скалярного произведения. Пусть под действием постоянной силы точка перемещается по прямой из положения в положение . Сила образует с прямой угол . Работа силы на этом перемещении равна . Если ввести вектор перемещения , то выражение для работы можно

переписать в виде . Следовательно, работа силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения. §7. Векторное произведение векторов Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который определяется следующим образом: а) , т.е. численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах; б)  и , т.е. он перпендикулярен плоскости, в которой лежат перемножаемые

векторы; в)  , , образуют правую тройку векторов, то есть, если из конца вектора () кратчайший поворот от вектора () к вектору () виден происходящим против хода часовой стрелки. Векторное произведение векторов и обозначается или . Рис. 6. Свойства векторного умножения векторов 1.  . Т.к. , причем векторы и коллинеарны, но направлены противоположно. 2. , если или или . Действительно, если оба вектора ненулевые, то при . В частности для

любого вектора . Таким образом, для коллинеарности двух ненулевых векторов необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы равно нулю. 3. Ассоциативность (или сочетательность) относительно скалярного множителя: если – скаляр, то справедливо равенство . Действительно. . Пары векторов и лежат в одной плоскости, . Также легко можно убедиться в справедливости и второй части равенства. 4. Дистрибутивность