Векторная алгебра и аналитическая геометрия — страница 2

  • Просмотров 1464
  • Скачиваний 32
  • Размер файла 640
    Кб

базисе вектор имеет координаты , тогда разложение вектора по векторам и имеет вид , или в координатной форме или Решив полученную систему уравнений каким-либо образом, получим, что. Значит . Таким образом, в базисе вектор имеет координаты . Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, определяемое равенством: , где – угол между векторами и . Если , то

. Зная скалярное произведение, можно определить угол между двумя векторами по формуле: . Условие перпендикулярности ненулевых векторов (угол между ними равен 90°) имеет вид: , или , а условие их коллинеарности: , или . Свойства скалярного произведения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) , причем . Пример 2. Найти угол между векторами и , если , , , . Решение. Используем формулу . Определим координаты векторов и , учитывая, что при сложении векторов мы складываем

одноименные координаты, а при умножении вектора на число – умножаем на это число каждую координату этого вектора, а: , . Найдем скалярное произведение векторов и и их длины. , , . Подставив в формулу, получим . Отсюда . Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор (другое обозначение ), который: а) имеет длину , где – угол между векторами и ; б) перпендикулярен векторам и () (то есть, перпендикулярен

плоскости, в которой лежат векторы и ); в) направлен так, что векторы , , образуют правую тройку векторов, то есть из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки (рис.2). Координаты векторного произведения вектора на вектор определяются по формуле: Геометрический смысл векторного произведения: модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах и . Свойства

векторного произведения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) и коллинеарны. Пример 3. Параллелограмм построен на векторах и , где , , . Вычислить длину диагоналей этого параллелограмма, угол между диагоналями и площадь параллелограмма. Решение. , , . Угол между диагоналями обозначим буквой , тогда Следовательно, . Используя свойства векторного произведения, вычислим площадь параллелограмма: Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется

скалярное произведение вектора на вектор : . Если то смешанное произведение можно вычислить по формуле: . Свойства смешанного произведения: 1) При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак; 2) ; 3) ; 4) компланарны . Геометрический смысл смешанного произведения: объем параллелепипеда, построенного на векторах , , (рис.4), а объем образованной ими треугольной пирамиды находятся по формулам . Пример 4.