Векторный метод решения стереометрических задач

  • Просмотров 855
  • Скачиваний 34
  • Размер файла 98
    Кб

Векторный метод решения стереометрических задач Задача 1. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противолежащей грани, называется медианой этого тетраэдра; отрезок, соединяющий середины противоположных ребер тетраэдра, называется его бимедианой. Докажите: а) что все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и эта точка делит каждую из медиан в отношении 3:1, считая от вершины; б) все бимедианы тетраэдра

пересекаются в одной точке и делятся ею пополам; в) точка пересечения бимедиан тетраэдра совпадает с точкой пересечения его медиан. Решение. а) Пусть Н1, Н2, Н3, Н4 — центроиды граней соответственно АВС, АВР, ВСР, АСР; М — точка, делящая медиану РН1 тетраэдра РАВС в отношении РМ : МН1 = 3 : 1( рис. 1). Рис. 1 Тогда РМ : РН1 = 3 : 4, откуда Для любой точки О пространства и центроида Н1 грани АВС выполняется равенство: Тогда Аналогично можно доказать,

что для точек М1, М2 и М3, делящих медианы соответственно СН2, АН3, ВН4 тетраэдра в отношении 3 : 1, считая соответственно от вершин С, А и В, выполняется то же равенство, то есть Это означает, что точки М, М1, М2 и М3 совпадают, то есть все четыре медианы РН1, СН2, АН3 и ВН4 тетраэдра пересекаются в одной точке М и делятся этой точкой в отношении 3 : 1, считая от соответствующей вершины, что и требовалось доказать. Точка пересечения медиан

тетраэдра называется центроидом этого тетраэдра. б) Пусть точки K и Е — середины ребер соответственно ВС и АР (см. рис. 1), то есть отрезок KЕ — бимедиана тетраэдра РАВС. Если точка Q — середина бимедианы KЕ, то для любой точки О пространства выполняется: Так как K и Е — середины ребер соответственно ВС и АР, то справедливы равенства: Тогда получаем: Аналогично можно доказать, что для середины Q1 бимедианы ТF (см. рис.1) имеет место: Можно

убедиться, что такое же равенство выполняется и для середины Q2 третьей бимедианы данного тетраэдра. Это означает: откуда следует, что точки Q, Q1 и Q2 совпадают, то есть все три бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке Q и делятся этой точкой пополам. в) Таким образом, для точек М и Q справедливы соответственно равенства: и из которых следует, что откуда: точка Q пересечения бимедиан тетраэдра РАВС совпадает с его центроидом М,