Великая теорема Ферма два коротких доказательства

  • Просмотров 582
  • Скачиваний 26
  • Размер файла 233
    Кб

Великая теорема Ферма – два коротких доказательства Бобров А.В. 123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д.10, корп. 1, кв. 15 Контактный телефон – 193-42-34 Последняя теорема Ферма, иногда называемая Великой, формулируется следующим образом: В равенстве числа и не могут быть одновременно целыми положительными, если . Предположим, такие числа существуют. Тогда должны выполняться следующие условия: Равенство справедливо для взаимно

простых, не имеющих общих целых множителей, кроме 1, чисел и , т.е. два числа – всегда нечетные. Существуют числа и , или , то есть для произвольно выбранных натуральных существует бесконечное множество рациональных, действительных или комплексных чисел и , удовлетворяющих приведенному равенству, если в этом множестве выполнимы арифметические действия. Для целых числа и также будут целыми. Вариант№1 Равенство (1) путем

последовательного деления на числа и всегда преобразуется в два многочлена (уравнения) -ой степени относительно : (2) (3) Равенства (2) и (3) получены путем тождественных преобразований равенства (1), т.е. должны выполняться при одних и тех же значениях целых положительных чисел и . По определению, необходимым и достаточным условием тождественности двух многочленов над некоторым числовым полем (в нашем случае – над множеством целых

чисел) является равенство коэффициентов членов, содержащих одни и те же аргументы в одинаковых степенях, то есть должно выполняться: , , … , (4) Из (1) и (4) следует , то есть число , как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3) не может быть рациональным при целых , , и . Из равенства свободных членов следует: , или , или (5) Вычитая из правой части равенства (5) левую, получим: (6) или, если , сократив на , получим: (7) Из равенства (7) следует,

что для числа и не могут быть одновременно положительными. Представленные преобразования позволяют сделать следующие выводы: для тождественных над множеством рациональных чисел многочленов (2) и (3) при число , как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3), не может быть рациональным при целых положительных , , и ; многочлены (2) и (3) для и натуральных и не тождественны над множеством рациональных чисел, если делители и