Великие задачи древности — страница 5

  • Просмотров 2316
  • Скачиваний 31
  • Размер файла 145
    Кб

фигуре, кроме прямой АЕF, строятся циркулем и линейкой; а прямую можно провести, если разрешить метки на линейке. Хватит двух меток Е и F; их нужно сделать на расстоянии b/2 друг от друга. Тогда прямую АЕF строят, поместив линейку так, чтобы её край проходил через A, одна метка попала на l, а другая на прямую ВС. Никомед из Александрии (II в. до н. э.) использовал для решения этой задачи особую кривую — конхоиду (слово «конхоидес» в переводе

с греческого означает «подобная раковине мидии»; рис. 3). На рис. 2 её опишет точка F, если меченую линейку перемещать так, чтобы её край всё время проходил через точку А (её называют полюсом конхоиды), в то время как точка Е пробегает всю прямую / (основание конхоиды). Постоянная длина ЕF называется интервалом. Точнее, это будет одна ветвь конхоиды; вторую её ветвь описывает точка, симметричная Р относительно Е. Никомед находил точку Р

на рис. 2, чертя конхоиду с полюсом А и основанием /. Он даже изобрёл специальный прибор для вычерчивания этих кривых. ТРИСЕКЦИЯ УГЛА Несложно разделить любой угол с помощью циркуля и линейки на две, а некоторые углы — и на три равные части. Последняя операция называется трисекцией угла. Например, мы можем построить треть прямого угла, поделив пополам угол правильного треугольника, а проведя биссектрису в образовавшемся угле в 30°,

получим угол величиной 15° — треть угла в 45°. Есть и другие углы, для которых трисекция выполнима. Наверное, подобные построения и вселили надежду открыть способ трисекции любого угла посредством циркуля и линейки. Эту задачу пытались решить ещё в V в. до н. э. в Греции. На рис. 3 А0В — заданный угол, из точки В проведены прямая p = ВС, перпендикулярная ОА, и прямая l, параллельная ОА. Если теперь начертить прямую а = ОРQ так, чтобы её

отрезок РQ, заключённый между р и l, равнялся 20В, то угол РОС составит треть данного угла. (Это можно доказать, пользуясь тем, что треугольники ОBD и ВDQ, где О — середина РQ, равнобедренные, и теоремой о внешнем угле треугольника.) Построить прямую а можно с помощью меченой линейки, т. е. линейки, на которой нанесены две метки на расстоянии 20В друг от друга. Никомед с той же целью чертил свою конхоиду с полюсом О, основанием p и интервалом

20В; она пересекает l в искомой точке О. В 1593 г. Франсуа Виет доказал, что любое кубическое уравнение можно свести либо к удвоению куба, либо к трисекции угла. Поскольку обе задачи решаются с помощью конхоиды, Ньютон предлагал включить эту кривую в число «стандартных». Архимед придумал свой способ трисекции. На данный угол — это угол AОВ между радиусами окружности. С помощью меченой линейки проведём прямую через точку А так, чтобы