Виды тригонометрических уравнений

  • Просмотров 2059
  • Скачиваний 75
  • Размер файла 21
    Кб

Реферат на тему: “Виды тригонометрических уравнений” Успенского Сергея Харцызск 2001 год Виды тригонометрических уравнений. 1. Простейшие тригонометрические уравнения: Пример 1. 2sin(3x - /4) -1 = 0. Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - /4). sin(3x - /4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а нахо­дим 3х - /4 = (-1)n arcsin 1/2 + n, nZ. Зх - /4 = (-1)n /6 + n, nZ; 3x = (-1)n /6 + /4 + n, nZ; x = (-1)n /18 + /12 + n/3, nZ Если k = 2n (четное), то х = /18 +

/12 + 2n/3, nZ. Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - /18 + /12 + ((2n + 1))/3 = = /36 + /3 + 2n/3 = 13/36 + 2n/3, nz. Ответ: х1 = 5/6 + 2n/3,nZ, x2 = 13/36 + 2n/3, nZ, или в градусах: х, = 25° + 120  n, nZ; x, = 65° + 120° n, nZ. Пример 2. sinx + з cosx = 1. Решение. Подставим вместо з значение ctg /6, тогда уравнение при­мет вид sinx + ctg /6 cosx = 1; sinx + (cos/6)/sin/6  cosx = 1; sinx sin /6 + cos /6 cosx = sin /6; cos(x - /6) = 1/2. По формуле для уравнения cosx = а находим х - /6 = ± arccos 1/2 + 2n, nZ; x = ± /3 +

/6 + 2n, nZ; x1 = /3 + /6 + 2n, nZ; x1 = /2 + 2n, nZ; x2 = - /3 + /6 + 2n, nZ; x2 = -/6 + 2n, nZ; Ответ: x1 = /2 + 2n, nZ; x2 = -/6 + 2n, nZ. 2. Двучленные уравнения: Пример 1. sin3x = sinx. Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx  cos2x = 0. Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения. sinx = 0 или cos2x = 0. x1 = n, nZ, x2 = /4 + n/2, nZ. Ответ: x1 = n, nZ, x2 = /4 + n/2, nZ. 3.

Разложение на множители: Пример 1. sinx + tgx = sin2x / cosx Решение. cosx  0; x  /2 + n, nZ. sinx + sinx/cosx = sin2x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx. sinx  cosx + sinx - sin2x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0; sinx = 0 или cosx - sinx +1=0; x1 = n, nZ; cosx - cos(/2 - x) = -1; 2sin /4  sin(/4 - x) = -1; 2  sin(/4 - x) = -1; sin(/4 -x) = -1/2; /4 - x = (-1) n+1 arcsin 1/2 + n, nZ; x2 = /4 - (-1) n+1  /4 - n, nZ; x2 = /4 + (-1) n  /4 + n, nZ. Если n = 2n (четное), то x = /2 + n, если n = 2n + l (нечетное), то x = n. Ответ: x1 = n, nZ; x2 = /4 + (-I)n  /4 + n,

nZ. 4. Способ подстановки Пример 1. 2 sin2x = 3cosx. Решение. 2sin2x - 3cosx = 0; 2 (l - cos2x) - 3cosx = 0; 2cos2x + 3cosx - 2 = 0. Пусть z = cosx, |z|  1. 2z2 + 32z - 2=0. Д = 9+16 = 25; Д = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 - -не удовлетво­ряют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение: cosx = 1/2; х = ± /3 + 2n, nZ. Ответ: х = ± /3 + 2n, nZ. 5. Однородные уравнения Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид: a sin2x + b sinxcosx + c cos2x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или a sin3x + b sin2x cosx + c