Введение в математический анализ 2

  • Просмотров 1516
  • Скачиваний 26
  • Размер файла 251
    Кб

Введение в математический анализ. Числовая последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность x1, х2, …, хn = {xn} Общий элемент последовательности является функцией от n. xn = f(n) Таким образом последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента. Задать последовательность можно различными способами –

главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности. Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; … {xn} = {sinn/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; … Для последовательностей можно определить следующие операции: Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т.е. mx1, mx2, … Сложение (вычитание) последовательностей: {xn}  {yn} = {xn  yn}. Произведение последовательностей: {xn}{yn} = {xnyn}. Частное последовательностей: при {yn}  0. Ограниченные и

неограниченные последовательности. Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство: т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M). Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что xn  M. Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для

любого n существует такое число М, что xn  M Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }. Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного >0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие: Это записывается: lim xn = a. В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к а при n. Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются

новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая. Пример. Доказать, что предел последовательности lim . Пусть при n > N верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется. Пример. Показать, что при n последовательность 3, имеет пределом число 2. Итого: {xn}= 2 + 1/n; 1/n = xn – 2 Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim {xn} = 2. Теорема.