Введение в математический анализ 2 — страница 3
запишем выражение xn+1 и сравним его с выражением xn: Каждое слагаемое в выражении xn+1 больше соответствующего значения xn, и, кроме того, у xn+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {xn} возрастающая. Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: xn < 3. Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е. Из неравенства следует, что е 3. Отбрасывая в равенстве для {xn} все члены, начиная с четвертого, имеем: переходя к пределу, получаем Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е. Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828… Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до любого действительного числа: Предположим: Найдем Число е является основанием натурального логарифма. Выше представлен график функции y = lnx. Связь натурального и десятичного логарифмов. Пусть х = 10у, тогда lnx = ln10y , следовательно lnx = yln10 у = , где М = 1/ln10 0,43429…- модуль перехода. Предел функции в точке. y f(x) A + A A - 0 a - a a + x Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена) Определение. Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что 0 < x - a < верно неравенство f(x) - A< . То же определение может быть записано в другом виде: Если а - < x < a + , x a, то верно неравенство А - < f(x) < A + . Запись предела функции в точке: Определение. Если f(x) A1 при х а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) A2 при х а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа. у f(x) А2 А1 0 a x Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки. Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x). Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности. Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х, если для любого числа >0 существует такое число М>0, что для всех х, х>M выполняется неравенство При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности. Записывают: Графически можно представить: y y A A 0 0 x x y y A A 0 0 x x Аналогично можно определить пределы для любого х>M и для любого
Похожие работы
- Доклады
- Рефераты
- Рефераты
- Рефераты
- Контрольные