Введение в математический анализ 2 — страница 3

  • Просмотров 2594
  • Скачиваний 30
  • Размер файла 251
    Кб

запишем выражение xn+1 и сравним его с выражением xn: Каждое слагаемое в выражении xn+1 больше соответствующего значения xn, и, кроме того, у xn+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {xn} возрастающая. Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: xn < 3. Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято

обозначать буквой е. Из неравенства следует, что е  3. Отбрасывая в равенстве для {xn} все члены, начиная с четвертого, имеем: переходя к пределу, получаем Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е. Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828… Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до

любого действительного числа: Предположим: Найдем Число е является основанием натурального логарифма. Выше представлен график функции y = lnx. Связь натурального и десятичного логарифмов. Пусть х = 10у, тогда lnx = ln10y , следовательно lnx = yln10 у = , где М = 1/ln10  0,43429…- модуль перехода. Предел функции в точке. y f(x) A +  A A -  0 a -  a a +  x Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и

не определена) Определение. Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что 0 < x - a <  верно неравенство f(x) - A< . То же определение может быть записано в другом виде: Если а -  < x < a + , x  a, то верно неравенство А -  < f(x) < A + . Запись предела функции в точке: Определение. Если f(x)  A1 при х  а только при x < a, то - называется пределом функции

f(x) в точке х = а слева, а если f(x)  A2 при х  а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа. у f(x) А2 А1 0 a x Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки. Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности. Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х, если для любого числа >0 существует такое число М>0, что для всех х, х>M выполняется неравенство При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности. Записывают: Графически можно представить: y y A A 0 0 x x y y A A 0 0 x x Аналогично можно определить пределы для любого х>M и для любого