Введение в стереометрию

  • Просмотров 722
  • Скачиваний 25
  • Размер файла 26
    Кб

2 Реферат на тему: «Введение в стереометрию» I.Основные аксиомы стереометрии В стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется еще одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы, регулирующие «взаимоотношения» плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три. Первая- аксиома выхода в пространство - придает «театру геометрических действий» новое, третье измерение: Имеется четыре точки, не лежащие в одной

плоскости (рис. 1) Таким образом, не все точки находятся в одной плоскости. Но этого недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно много. Это обеспечивается второй аксиомой- аксиомой плоскости: Рис. 1 Через любые три точки проходит плоскость. С третьей аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из бумаги: все знают, что, образующиеся при этом линии сгиба - прямые. Аксиома пересечения плоскостей звучит так:

Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая. Рис. 2 (рис.2) Отсюда следует: если три точки лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость единственная. Действительно, если через какие- то три точки проходят две разные плоскости, то через эти точки можно провести прямую, а именно прямую, по которой плоскости пересекаются. Отметим, что последнее свойство само нередко включается в аксиомы. Третья

аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным, потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут пересекаться по одной точке. К трем указанным так же присоединяются планометрические аксиомы, переосмысленные и подправленные с учетом того, что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями. Например, аксиому

прямой - через две различные точки можно провести одну и только одну прямую - переносят в стереометрию дословно, но только она уже распространяется на две точки пространства. В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие: прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой плоскости. Пусть прямая l проходит через точки А и В плоскости α (рис. 3). Вне плоскости α есть хотя бы одна точка С