Вычисление обратной матрицы

  • Просмотров 539
  • Скачиваний 24
  • Размер файла 66
    Кб

Вычисление обратной матрицы. Рассмотрим квадратную матрицу Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если её определитель отличен от нуля и вырожденной, или особенной, если её определитель равен нулю. Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение АВ= ВА=Е, где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В. Теорема. Для того, чтобы

матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля. Матрица, обратная к А, обозначается через А-1, так что В= А-1. Для матрицы А обратная ей матрица А-1 определяется однозначно. Справедливы следующие равенства: (А-1)=(А)-1; (А-1)-1=А; (А1А2)-1=А2-1А1-1; (АТ)-1=(А-1)Т. Существую несколько способов нахождения обратной матрицы. Рассмотрим один из них – нахождение обратной матрицы путём вычисления

алгебраических дополнений. Заключается он в следующем: пусть нам дана матрица А, имеющая следующий вид: Предположим, что А0. Построим следующую матрицу С следующим образом: где Аij – алгебраическое дополнение элемента аij в определителе матрицы А. Очевидно, что для построения матрицы С необходимо сначала заменить элементы матрицы А соответствующими им алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу

транспонировать. Полученная таким образом матрица С называется присоединённой к матрице А, или союзной с А. Чтобы получить матрицу А-1, обратную для матрицы А, необходимо каждый элемент присоединённой матрицы С поделить на А, т.е. матрица А-1 будет иметь следующий вид: Пусть матрица А, имеет следующий вид: Чтобы найти матрицу А-1, обратную для матрицы А, необходимо: вычислить определитель матрицы (А= -3); найти алгебраические

дополнения элементов аij в определителе матрицы А: составить присоединённую матрицу С по формуле (2); разделить все элементы матрицы С на А. Реализуем вышеизложенный алгоритм нахождения обратной матрицы следующим образом: вначале запишем в редакторе Word присоединенную матрицу С по формуле (2), после чего в программе Excel найдём обратную матрицу А-1 (по формуле (3)) для матрицы А. Включите компьютер. Подождите пока загрузится