Высшая математика, интегралы (шпаргалка)

  • Просмотров 6007
  • Скачиваний 376
  • Размер файла 118
    Кб

Равномерная непрерывность Определение 28.7: Функция равномерно непрерывной на множестве Пояснение: Пусть: Т.е. функция не является равномерно непрерывной на множестве Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на нём.  Классы интегрируемых функций Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём. Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём. Теорема 28.5: Если

функция , и если Причём общая длина этих интервалов меньше . Замечание: Очевидно, что если и   Существование первообразной Определение 28.9: Пусть переменным верхним пределом, аналогично функция переменным нижним пределом. Теорема 28.6: Если функция Замечание 1: Из дифференцируемости функции Замечание 2: Поскольку Интегрирование подстановкой Пусть для вычисления интеграла Теорема. Если 1. Функция 2. множеством значений функции

при a;b] 3. Док-во: Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница Формула замены переменной в определенном интеграле. 1.        при вычислении опред. интег-ла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется; 2.        часто вместо подстановки t=g(x) 3.        не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.

Интегрирование заменой переменной. а). Метод подведения под знак дифференциала Пусть требуется вычислить интеграл Тогда: Пример: Вычислить Подстановка: б). Метод подстановки Пусть требуется вычислить интеграл Пример: Вычислить Интегрирование по частям. Пусть Пример: Вычислить Положим Замечание 26.5: Иногда при вычислении интеграла Интегрирование рациональных функций Постановка задачи: 1). 2). 3). т.е. все задачи сводятся к задаче

B.2). Теорема 1: Пусть 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Интегрирования дробно-линейных и квадратичных иррациональностей Сделав подстановку: тогда a). Подстановки Эйлера. 1). Корни многочлена 2). Корни многочлена b). Подстановка: 1). 2). 3). c). Если Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических Универсальная подстановка: Интегрируется по частям Неопределенный интеграл Определение 26.1: Функция первообразной для функции Пусть