Высшая математика, интегралы (шпаргалка) — страница 3

  • Просмотров 6526
  • Скачиваний 379
  • Размер файла 118
    Кб

наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b]. Если Теорема о среднем значении Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка такая, что Док-во: По формуле Ньютона-Лейбница имеем F’(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F’(c)*(b-a)=f(c)*(b-a). Эта теорема при f(x)f(с) и основанием b-a. Число наз-ся средним значением функции f(x) на отрезке [a;b]. Формула

Ньютона-Лейбница Если Док-во: Рассмотрим тождество Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа y=f(x) непрерывна на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от f(x) на [a;b]. Переходя к пределу при F(b)-F(a)= =, т.е. интеграл с переменным верхним пределом Если изменять, например, верхний предел так, чтобы не выйти за пределы отрезка [a;b], то величина интеграла будет изменяться. Другими

словами, интеграл с переменным верхним пределом представляет собой функцию своего верхнего предела. Производная определенного интег-ла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в к-рой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е. Док-во: По формуле Ньютона-Лейбница имеем: Следовательно, = Это значит, что определенный интег-л с переменным верхним пределом есть одна из первообразных

подынтегральной функции.